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2019-2020學年北京市某校高三（上）開學數學試卷（9月份）一、選擇題：（共8小題；共40分）)1.設集合M={x|x2=x}，N={x|lgx≤0}，則M∪N=( )A.[0, 1]B.(0, 1]C.[0, 1)D.(-∞, 1]2.設f(x)是定義在R上的奇函數，且當x≥0時，f(x)單調遞減，若x1+x2>0，則f(x1)+f(x2)的值（）A.恒為負值B.恒等于零C.恒為正值D.無法確定正負3.函數f(x)的導函數f'(x)的圖象如圖所示，則（）A.12為f(x)的極大值點B.-2為f(x)的極大值點C.2為f(x)的極大值D.45為f(x)的極小值點4.α是第四象限角，cosα=1213，則sinα=（）A.513B.-513C.512D.-5125.設{an}是等差數列，下列結論中正確的是（）A.若a1+a2>0，則a2+a3>0B.若a1+a2<0，則a2+a3<0C.若0
a1a3D.若a1<0，則(a2-a1)(a2-a3)<06.已知{an}中，an=n2+λn，且{an}是遞增數列，則實數λ的取值范圍是（）A.(-2, +∞)B.[-2, +∞)C.(-3, +∞)D.[-3, +∞)7.如圖，在平面四邊形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=120°，AB=AD=1．若點E為邊CD上的動點，則AE→⋅BE→的最小值為( )A.2116B.32C.2516D.3試卷第7頁，總7頁, 8.設函數f(x)=ex(2x-1)-ax+a，其中a<1，若存在唯一的整數x0使得f(x0)<0，則a的取值范圍是( )A.[-32e,1)B.[-32e,34)C.[32e,34)D.[32e,1)二、填空題（共6小題；共30分）)9.已知loga2＝m，loga3＝n，求a2m+n＝________．10.已知a→=(1,t)，b→=(t,4)，若a→//b→，則t=________．11.在等比數列{an}中，a1=12，a4=-4，則公比q=________；|a1|+|a2|+...+|an|=________．12.設函數f(x)=cos(ωx-π6)(ω>0)，若f(x)≤f(π4)對任意的實數x都成立，則ω的最小值為________．13.定義在R上的函數f(x)＝2ax+b，其中實數a，b∈(0, +∞)．若對任意的x∈[-12,12]，不等式|f(x)|≤2恒成立，寫出滿足條件的一組(a, b)的值________．14.甲、乙、丙三人一起進行羽毛球訓練，每局兩人比賽，另一人休息，三人約定每一局的輸者下一局休息．訓練結束時統計結果如下，甲共休息了2局，乙共打了8局，丙共打了5局，則這次訓練的總局數為________；其中第9局比賽的兩人是________三、解答題（共6小題；共80分）)15.已知等差數列{an}滿足a1＝1，a5＝a2+6．（1）求數列{an}的通項公式；（2）若{an}的前n項和為Sn，求數列{Snn}與數列{an}的前100項中的所有相同項的和．16.已知函數f(x)=3sinxcosx+cos2x．（1）寫出函數f(x)的最小正周期和單調增區間；（2）若函數f(x)的圖象關于直線x＝x0對稱，且02恒成立，求實數a的取值范圍．19.已知f(x)＝(ax2+ax+x+a)e-x(a≤0)．（1）討論y＝f(x)的單調性；（2）當a＝0時，若f(x1)＝f(x2) (x1≠x2)，求證x1+x2>2．20.已知數列{an}滿足若a1>0，an+1=2an,01?．（1）若a6=43，求a4的值；試卷第7頁，總7頁, （2）是否存在n∈N*，使得若an+an+1＝an+2成立？若存在，求出n的值；若不存在，說明理由；（3）求證：若a1∈Q，則存在k∈N*，ak＝1．試卷第7頁，總7頁, 參考答案與試題解析2019-2020學年北京市某校高三（上）開學數學試卷（9月份）一、選擇題：（共8小題；共40分）1.A2.A3.A4.B5.C6.C7.A8.D二、填空題（共6小題；共30分）9.1210.t=-2或t=211.-2,2n-1-1212.2313.(1, 1)14.11,甲和乙三、解答題（共6小題；共80分）15.設公差為d的等差數列{an}滿足a1＝1，a5＝a2+6．所以a1+4d＝a1+d+6，解得d＝2．所以an＝1+2(n-1)＝2n-1．數列{an}的前n項和為Sn，Sn＝1+3+5+...+(2n-1)=n(2n-1)2=n2，所以Snn=n2n=n，所以數列{Snn}與數列{an}的前100項中的所有相同的項為：1，3，5，7，…，99．故T=1+3+?+99=50(99+1)2=2500．16.f(x)=3sinxcosx+cos2x=32sin2x+12cos2x+12=sin(2x+π6)+12，∴T=2π2=π．由2kπ-π2≤2x+π6≤2kπ+π2(k∈Z)，得kπ-π3≤x≤kπ+π6(k∈Z)．∴y的單調遞增區間為[kπ-π3, kπ+π6](k∈Z)．試卷第7頁，總7頁, ∵f(x)的圖象關于直線x＝x0對稱，∴2x0+π6=kπ+π2，x0=kπ2+π6(k∈Z)．∵02恒成立，即[h(x1)-2x1]-[h(x2)-2x2]x1-x2>0，令m(x)＝h(x)-2x，則m(x)在(0, +∞)遞增，故m'(x)＝h'(x)-2＝x+ax-2≥0恒成立，即a≥x(2-x)恒成立，因為x(2-x)＝-(x-1)2+1≤1，所以a≥1，即a的取值范圍是[1, +∞)．19.由已知得：x∈R，f'(x)=-(ax+1)(x-1)ex，若a＝0，當x<1時，f'(x)>0，當x>1時，f'(x)<0，∴f(x)在(-∞, 1)遞增，在(1, +∞)遞減，若-11，∴f(x)在(-∞, 1)與(-1a, +∞)試卷第7頁，總7頁, 遞增，在(1, -1a)遞減，若a＝-1，f'(x)≤0，∴f(x)在R遞減，若a<-1，時，則-1a<1，∴f(x)在(-∞, -1a)與(1, +∞)遞增，在(-1a, 1)遞減，綜上：若a＝0，f(x)在(-∞, 1)遞增，在(1, +∞)遞減，-12，只需證明 x1>2-x2，由f(x)在(-∞, 1)遞增，即證f(x2)>f(2-x2)，即證2-x2e2-x2(2-x2)e2x2-2，令g(t)＝t-(2-t)e2t-2(t>1)，g'(t)＝1+(2t-3)e2t-2，g″(t)＝(4t-4)e2t-2>0，∴g'(t)在(1, +∞)遞增，g'(t)>g'(1)＝0，∴g(t)在(1, +∞)遞增，g(t)>g(2)＝0，∴g(t)在(1, +∞)上恒大于0，即x2>(2-x2)e2x2-2，即x1+x2>2．20.∵a6=43，∴2a5=43，解得：a5=23．∴2a4=23或1-1a4=23，解得a4=13或3．假設存在n∈N*，使得若an+an+1＝an+2．①若an∈(0, 12]，則an+1＝2an，an+2＝4an，于是an+2an＝4an，解得an＝0，舍去．②若an∈(12, 1]，則an+1＝2an，an+2＝1-12an，于是an+2an＝1-12an，無解，舍去．③若an∈(1, +∞)，則an+1＝1-1an，an+2＝2(1-1an)，于是an+(1-1an)＝2(1-1an)，無解，舍去．綜上可得：假設不成立，即不存在n∈N*，使得若an+an+1＝an+2．試卷第7頁，總7頁, 證明：①若a1＝1，則a2＝2，a3＝1-12=12，a4＝1，……，可得存在n＝3k-2，使得a3k-2＝1，k∈N*．②由①可得：a1＝2，12時，都存在k∈N*，ak＝1．③若a1∈Q，a1≠1，2，12時．若a1>1，由an+1＝1-1an，可以轉化為03，分母總可以轉化為3．例如：a1=15，a2=25，a3=45，a4=85，a5=38，a6=34，a7=32，a8=13，不妨設a1=13，則a2=23，a3=43，a4=14，a5=12，a6＝1．綜上可得：存在k∈N*，ak＝1．試卷第7頁，總7頁
